圓的方程：練習題

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1. 第 1 題多項選擇題 · 1 分

   求圓 $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ 的圓心和半徑。

   A

   圓心 $(-3, 2)$，半徑 $5$

   B

   圓心 $(3, -2)$，半徑 $5$

   C

   圓心 $(3, -2)$，半徑 $12$

   D

   圓心 $(6, -4)$，半徑 $5$

2. 第 2 題多項選擇題 · 1 分

   求圓心為 $(1, -3)$、半徑為 4 的圓的方程。

   A

   $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 6 = 0$

   B

   $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$

   C

   $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$

   D

   $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 16 = 0$

3. 第 3 題多項選擇題 · 1 分

   點 $(4, 1)$ 與圓 $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ 的位置關係是

   A

   在圓內

   B

   在圓上

   C

   在圓外

   D

   不能確定

4. 第 4 題多項選擇題 · 1 分

   直線 $y = x + k$ 是圓 $x^2 + y^2 = 8$ 的切線。求 $k$。

   A

   $\pm 2\sqrt{2}$

   B

   只有 $4$

   C

   $\pm 8$

   D

   $\pm 4$

5. 第 5 題4 分

   圓 $C$ 為 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$，$P(4, 6)$ 在 $C$ 上。求 $C$ 在 $P$ 的切線方程。

   睇詳細題解

   $C$ 的圓心坐標是 $(1, 2)$。1A

   通過 $P$ 的半徑的斜率 $= \dfrac{6 - 2}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}$ 1M

   所以切線的斜率是 $-\dfrac{3}{4}$ ［切線⊥半徑］：$y - 6 = -\dfrac{3}{4}(x - 4)$ 1M

   $3x + 4y - 36 = 0$ 1A

6. 第 6 題4 分

   直線 $x - y + 1 = 0$ 與圓 $x^2 + y^2 = 13$ 相交於 $A$ 和 $B$。求 $A$ 和 $B$ 的坐標及 $AB$ 的長度。

   睇詳細題解

   代入 $y = x + 1$：$x^2 + (x + 1)^2 = 13$，即 $x^2 + x - 6 = 0$ 1M

   $x = 2$ 或 $x = -3$ 1A

   所以 $A(2, 3)$ 及 $B(-3, -2)$。1A

   $AB = \sqrt{(2 + 3)^2 + (3 + 2)^2} = 5\sqrt{2}$ 1A