圓的方程

標準式

圓心為 $(h, k)$、半徑為 $r$ 的圓：

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

一般式

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ $$\text{圓心} = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right), \qquad r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$$

例：$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ 的圓心是 $(3, -2)$，半徑是 $\sqrt{9 + 4 + 12} = 5$。

**常見錯誤：**只有 $x^2$ 和 $y^2$ 的係數都是 1 時才可直接用一般式的公式。若係數是 2，要先把整條方程除以 2。

點的位置

把點代入 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$：

• 負數：點在圓內，
• 零：點在圓上，
• 正數：點在圓外。

直線與圓

把直線代入圓的方程得一條二次方程，再用 $\Delta$：

$\Delta$	意思
$\Delta > 0$	兩個交點
$\Delta = 0$	直線是切線
$\Delta < 0$	不相交

亦可比較圓心至直線的距離與 $r$。

三角形的四個心

心	相交的直線	性質
外心	各邊的垂直平分線	與三個頂點等距；外接圓的圓心
內心	角平分線	與三條邊等距；內切圓的圓心
垂心	高線
形心	中線	坐標為三個頂點坐標的平均值

直角三角形的外心是斜邊的中點。

圓上一點的切線

切線垂直於半徑。先求圓心至該點的半徑的斜率，取 $-\dfrac{1}{m}$，再用點斜式。

**應試提示：**這課題常與軌跡結合。「與 $(3, -2)$ 的距離恆為 5 的點的軌跡」是一個圓：$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$。