多項式：練習題

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1. 第 1 題多項選擇題 · 1 分

   求以 $x + 1$ 除 $x^3 - 2x^2 + 5$ 所得的餘數。

   A

   $4$

   B

   $8$

   C

   $2$

   D

   $-2$

2. 第 2 題多項選擇題 · 1 分

   若 $x - 2$ 是 $x^3 + kx - 6$ 的因式，求 $k$。

   A

   $-1$

   B

   $1$

   C

   $3$

   D

   $-7$

3. 第 3 題多項選擇題 · 1 分

   求以 $2x - 1$ 除 $4x^2 - 3x + 1$ 所得的餘數。

   A

   $0$

   B

   $\dfrac{3}{2}$

   C

   $2$

   D

   $\dfrac{1}{2}$

4. 第 4 題多項選擇題 · 1 分

   因式分解 $x^3 - 7x + 6$。

   A

   $(x + 1)(x + 2)(x - 3)$

   B

   $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$

   C

   $(x - 1)(x + 2)(x - 3)$

   D

   $(x - 1)^2(x + 6)$

5. 第 5 題5 分

   設 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6$。以 $x - 1$ 除 $f(x)$ 時，餘數是 $-6$。此外，$x + 2$ 是 $f(x)$ 的因式。

   (a) 求 $a$ 和 $b$。

   (b) 由此把 $f(x)$ 完全因式分解。

   睇詳細題解

   (a) $f(1) = -6$：$2 + a + b - 6 = -6$，所以 $a + b = -2$ ⋯⋯ (1) 1M

   $f(-2) = 0$：$-16 + 4a - 2b - 6 = 0$，所以 $2a - b = 11$ ⋯⋯ (2) 1M

   解得 $a = 3$，$b = -5$。1A

   (b) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 = (x + 2)(2x^2 - x - 3)$ 1M

   $= (x + 2)(2x - 3)(x + 1)$ 1A

6. 第 6 題3 分

   化簡 $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1}$。

   睇詳細題解

   $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，所以分母的 L.C.M. 是 $(x - 1)(x + 1)$。1M

   $$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1) - 2}{(x - 1)(x + 1)} \qquad \text{1M}$$ $$= \frac{1}{x + 1} \qquad \text{1A}$$