多項式

多項式除法

以 $d(x)$ 除 $f(x)$：

$$f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$$

其中 $q(x)$ 是商式，餘式 $r(x)$ 的次數低於 $d(x)$。

餘式定理

以 $(x - a)$ 除 $f(x)$，餘數是 $f(a)$。

以 $(ax - b)$ 除 $f(x)$，餘數是 $f\left(\dfrac{b}{a}\right)$。

**常見錯誤：**以 $(x + 1)$ 除即 $a = -1$，餘數是 $f(-1)$，不是 $f(1)$。

因式定理

$(x - a)$ 是 $f(x)$ 的因式當且僅當 $f(a) = 0$。

三次多項式的因式分解

1. 用常數項的因數（$\pm 1, \pm 2, \ldots$）逐一試代，直至 $f(a) = 0$。
2. 以 $(x - a)$ 除 $f(x)$，得一個二次式。
3. 把二次式因式分解。

例：$f(x) = x^3 - 7x + 6$。$f(1) = 1 - 7 + 6 = 0$，所以 $(x - 1)$ 是因式。

$$x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$$

求未知係數

每項資料可得一條方程。「以 $(x - 2)$ 除餘數為 5」即 $f(2) = 5$；「$(x + 3)$ 是因式」即 $f(-3) = 0$。再解聯立方程。

H.C.F.、L.C.M. 與有理函數

先因式分解。H.C.F. 取公因式的最低次冪；L.C.M. 取所有因式的最高次冪。有理函數相加減時，以分母的 L.C.M. 通分：

$$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1) - 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$$

**應試提示：**分題 (b) 常寫「由此」，應利用 (a) 部求得的因式去做除法。