二次方程：練習題

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1. 第 1 題多項選擇題 · 1 分

   若方程 $x^2 - 6x + k = 0$ 有相等的根，求 $k$。

   A

   $3$

   B

   $6$

   C

   $9$

   D

   $36$

2. 第 2 題多項選擇題 · 1 分

   $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $2x^2 - 5x - 3 = 0$ 的根。求 $\alpha^2 + \beta^2$。

   A

   $\dfrac{19}{4}$

   B

   $\dfrac{37}{4}$

   C

   $\dfrac{13}{4}$

   D

   $\dfrac{49}{4}$

3. 第 3 題多項選擇題 · 1 分

   以下哪一條方程沒有實根？

   A

   $x^2 + 4x + 4 = 0$

   B

   $x^2 - 3x - 1 = 0$

   C

   $x^2 - 5 = 0$

   D

   $2x^2 + x + 1 = 0$

4. 第 4 題多項選擇題 · 1 分

   解 $x(x - 3) = 2(x - 3)$。

   A

   $x = 2$ 或 $x = 3$

   B

   只有 $x = 2$

   C

   只有 $x = 3$

   D

   $x = -2$ 或 $x = 3$

5. 第 5 題3 分

   方程 $x^2 + (k - 2)x + 1 = 0$ 有兩個相異實根。求 $k$ 的取值範圍。

   睇詳細題解

   兩個相異實根即 $\Delta > 0$：

   $$(k - 2)^2 - 4(1)(1) > 0 \qquad \text{1M}$$ $$k - 2 > 2 \text{ 或 } k - 2 < -2 \qquad \text{1M}$$ $$k > 4 \text{ 或 } k < 0 \qquad \text{1A}$$
6. 第 6 題4 分

   $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $x^2 - 4x + 1 = 0$ 的根。試建立一條以 $\alpha^2$ 和 $\beta^2$ 為根的 $x$ 的二次方程。

   睇詳細題解

   $\alpha + \beta = 4$，$\alpha\beta = 1$。1M

   $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 16 - 2 = 14$ 1A

   $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1$ 1A

   所求方程為

   $$x^2 - 14x + 1 = 0 \qquad \text{1A}$$