二次方程

甚麼是二次方程

二次方程可寫成 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$，最多有兩個根。

三種解法

1. 因式分解法：數字容易處理時最快。

$$x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ 或 } x = 3$$

2. 二次公式：任何情況都適用。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

3. 圖解法：根就是 $y = ax^2 + bx + c$ 圖像的 $x$ 軸截距。

**常見錯誤：**解 $x(x - 3) = 2(x - 3)$ 時，若兩邊除以 $(x - 3)$，就會漏掉 $x = 3$ 這個根。應把所有項移到同一邊再因式分解：$(x - 3)(x - 2) = 0$。

判別式

$\Delta = b^2 - 4ac$ 不用解方程也能判斷根的性質：

$\Delta$	根的性質	$y = ax^2 + bx + c$ 的圖像
$\Delta > 0$	兩個相異實根	與 $x$ 軸相交於兩點
$\Delta = 0$	兩個相等實根（重根）	與 $x$ 軸相切
$\Delta < 0$	沒有實根	與 $x$ 軸不相交

當 $\Delta < 0$ 時，方程的根是 $a + bi$ 形式的複數，其中 $i^2 = -1$。

根的和與積

若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，則

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$

以 $\alpha$ 和 $\beta$ 為根的二次方程是

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

考試常用的恆等式：

• $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
• $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
• $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$

應試提示：「相等的根」即 $\Delta = 0$；「實根」即 $\Delta \geq 0$；「兩個相異實根」即 $\Delta > 0$。審題時要留意字眼。