函數及其圖像

函數

函數把每一個輸入對應到唯一一個輸出，記作 $y = f(x)$。

• 定義域：所有可取的 $x$ 值。
• 值域：所有輸出的 $y$ 值。

已知 $f(x) = x^2 - 3x$，求 $f(-2)$ 時，要把每個 $x$ 換成 $(-2)$，連括號一起代入：$f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) = 10$。

二次函數的圖像

對於 $y = ax^2 + bx + c$：

• $a > 0$：開口向上，有最小值。
• $a < 0$：開口向下，有最大值。
• $y$ 軸截距是 $c$；$x$ 軸截距是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的實根。

配方法

把 $y = ax^2 + bx + c$ 寫成 $y = a(x - h)^2 + k$，則：

• 頂點是 $(h, k)$，
• 對稱軸是 $x = h$，
• 最大值或最小值是 $k$。

例：$y = x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 3 = (x - 2)^2 + 3$。頂點是 $(2, 3)$，最小值是 $3$。

常見錯誤：$y = (x + 3)^2 + 2$ 的頂點是 $(-3, 2)$，不是 $(3, 2)$。括號內的符號要反轉。

圖像的變換

新函數	對 $y = f(x)$ 圖像的影響
$y = f(x) + k$	向上平移 $k$ 單位
$y = f(x) - k$	向下平移 $k$ 單位
$y = f(x + k)$	向左平移 $k$ 單位
$y = f(x - k)$	向右平移 $k$ 單位
$y = -f(x)$	對 $x$ 軸反射
$y = f(-x)$	對 $y$ 軸反射
$y = kf(x)$	沿鉛垂方向放大 $k$ 倍
$y = f(kx)$	沿水平方向縮小 $k$ 倍

應試提示：括號內的改變作用於 $x$，方向「相反」：$f(x + 3)$ 是把圖像向左平移 3 單位。