續方程

一元一次與一元二次聯立方程

1. 把一次方程化成 $y$（或 $x$）為主項。
2. 代入二次方程。
3. 解所得的二次方程，再用一次方程求另一未知數。

$$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = x^2 - 1 \end{cases} \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ 或 } x = -1$$

解是 $(2, 3)$ 及 $(-1, 0)$，即直線與曲線的交點。

交點的數目

代入後，看所得二次方程的 $\Delta$：

• $\Delta > 0$：直線與曲線相交於兩點。
• $\Delta = 0$：直線是曲線的切線（一個交點）。
• $\Delta < 0$：直線與曲線不相交。

可化為二次方程的方程

分式方程：兩邊乘以分母，再驗證根不會令分母為零。

$$x - 2 = \frac{3}{x} \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ 或 } x = -1$$

指數方程：用代換找出隱藏的二次方程。

$$4^x - 6(2^x) + 8 = 0$$

設 $u = 2^x$，則 $4^x = u^2$：$u^2 - 6u + 8 = 0$，得 $u = 2$ 或 $u = 4$，所以 $x = 1$ 或 $x = 2$。

對數方程：先合併對數，去掉對數，再捨去令對數內的數非正的根。

**常見錯誤：**忘記驗根。對數方程中，$x = -5$ 這類根必須捨去，因為 $\log(-5)$ 沒有定義。