排列與組合

計數原理

• 加法原理：若一件事可用幾種互不重疊的方式完成（情況一或情況二），把數目相加。
• 乘法原理：若一件事分步驟完成（先做第一步，再做第二步），把數目相乘。

排列：次序有關

從 $n$ 件不同物件中取 $r$ 件排列的方法數：

$$P^n_r = \frac{n!}{(n - r)!}$$

把 $n$ 件不同物件全部排成一行：$n!$ 種。

組合：次序無關

從 $n$ 件不同物件中選取 $r$ 件的方法數：

$$C^n_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$

快速判斷：選委員會、抽一手牌是組合；安排座位、組成數字或密碼是排列。

常見條件

條件	方法
某些物件必須相鄰	把它們綁成一組，先排列各組，再乘以組內的排列數
某些物件不可相鄰	總數 −（相鄰的數目），或先排其他物件再插入空位
某位置有限制（例如雙數）	先處理受限制的位置
「最少一個」	總數 −（一個都沒有的數目）

例：5 名男生和 3 名女生排成一行，3 名女生必須相鄰：$6! \times 3! = 4320$。

**常見錯誤：**以逐個情況相加的方法計算「最少一名女生」，容易重複計算。用「總數 − 沒有女生」更快更穩妥。