統計及離差

集中趨勢的量度

• 平均數：$\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$。分組數據用組中點：$\bar{x} = \dfrac{\sum fx}{\sum f}$。
• 中位數：數據排序後位於中間的數（$n$ 為雙數時取中間兩數的平均）。
• 眾數：出現次數最多的數。

離差的量度

量度	求法
分佈域	最大值 − 最小值
四分位數間距	$Q_3 - Q_1$
標準差 $\sigma$	$\sqrt{\dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$（用計算機）

四分位數間距不受極端值影響；分佈域和標準差則會受影響。

框線圖

框線圖顯示五個數：最小值、$Q_1$、中位數、$Q_3$、最大值。框的長度就是四分位數間距。

數據改變的影響

若每個數據 $x$ 變為 $ax + b$：

• 平均數、中位數和眾數變為 $a(\text{原值}) + b$；
• 分佈域、四分位數間距和標準差變為 $|a| \times (\text{原值})$。加上 $b$ 不會改變離差。

標準分

$$z = \frac{x - \bar{x}}{\sigma}$$

標準分表示一個數值比平均數高或低多少個標準差，可用來比較不同測驗的成績。

正態分佈

數據呈正態分佈時，大約

• 68% 在平均數的 $1\sigma$ 之內，
• 95% 在 $2\sigma$ 之內，
• 99.7% 在 $3\sigma$ 之內。

常見錯誤：每個數據加上一個常數，平均數會改變，但標準差不變。