指數及對數函數

指數定律

對於 $a, b > 0$：

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$，$\quad a^m \div a^n = a^{m-n}$，$\quad (a^m)^n = a^{mn}$
• $a^0 = 1$，$\quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$，$\quad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

對數

$\log_a y = x$ 與 $a^x = y$ 意思完全相同。常用對數 $\log y$ 即 $\log_{10} y$。

定律
$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$	積
$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$	商
$\log_a M^n = n \log_a M$	冪
$\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$	換底公式

此外 $\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$。

常見錯誤：$\log(M + N)$ 不等於 $\log M + \log N$；$\dfrac{\log M}{\log N}$ 不等於 $\log M - \log N$。

圖像

• $y = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$）通過 $(0, 1)$，永遠在 $x$ 軸上方。$a > 1$ 時遞增，$0 < a < 1$ 時遞減。
• $y = \log_a x$ 通過 $(1, 0)$，只在 $x > 0$ 時有定義。
• $y = a^x$ 與 $y = \log_a x$ 的圖像互為直線 $y = x$ 的反射。

解指數方程

兩邊取對數：

$$3^x = 20 \Rightarrow x \log 3 = \log 20 \Rightarrow x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.73$$

與對數有關的線性關係

若 $y = ka^x$，兩邊取對數得 $\log y = \log k + x \log a$，所以 $\log y$ 對 $x$ 的圖像是一條直線，斜率為 $\log a$，截距為 $\log k$。DSE 常給出這樣的直線圖，要求以 $x$ 表示 $y$。

實際應用

每期以固定百分率 $r$ 增長或衰減：$A = P(1 \pm r)^t$。例如汽車每年貶值 15%，$t$ 年後價值為 $P(0.85)^t$。

應試提示：題目問「最少多少整年後」時，先解不等式，再把答案向上取至下一個整數，並代入驗證。