概率

基本概率

當各結果出現的機會均等：

$$P(E) = \frac{\text{有利結果的數目}}{\text{所有可能結果的數目}}, \qquad 0 \leq P(E) \leq 1$$

互補事件：$P(E') = 1 - P(E)$。

加法定律

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

若 $A$ 和 $B$ 互斥（不可能同時發生），則 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。

乘法定律

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$$

若 $A$ 和 $B$ 獨立（互不影響），則 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。

放回與不放回

從 4 個紅球和 6 個藍球中抽 2 個：

• 放回：$P(\text{兩個都是紅}) = \frac{4}{10} \times \frac{4}{10}$
• 不放回：$P(\text{兩個都是紅}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15}$

可用樹形圖：沿分支相乘，不同分支之間相加。

運用組合

$$P(\text{從 5 男 4 女中選 3 人，恰有 2 名女生}) = \frac{C^4_2 \times C^5_1}{C^9_3}$$

期望值

$$E = \sum (\text{數值} \times \text{概率})$$

若預期得益為 0，該遊戲是公平的。

**常見錯誤：**處理「最少一個」的問題時逐個情況計算。$P(\text{最少一個}) = 1 - P(\text{一個都沒有})$ 幾乎總是最快的方法。