等差及等比數列

等差數列

每項等於前一項加上固定的公差 $d$。

$$T(n) = a + (n - 1)d$$ $$S(n) = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{n}{2}(a + l)$$

其中 $a$ 是首項，$l$ 是末項。

等比數列

每項等於前一項乘以固定的公比 $r$。

$$T(n) = ar^{n-1}$$ $$S(n) = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \quad (r \neq 1)$$

無限項之和

若 $-1 < r < 1$，各項愈來愈小，總和趨向一個極限：

$$S(\infty) = \frac{a}{1 - r}$$

**常見錯誤：**只有 $|r| < 1$ 時才有無限項之和。$2, 6, 18, \ldots$（$r = 3$）沒有無限項之和。

求 $a$、$d$ 或 $r$

兩個已知項可得兩條方程。等差數列中若 $T(3) = 10$、$T(7) = 22$，則 $(a + 6d) - (a + 2d) = 12$，所以 $d = 3$。

等比數列則把兩條方程相除：$\dfrac{T(5)}{T(2)} = r^3$。

應用題

• **彈跳球：**從高度 $h$ 落下、每次反彈至原高度 $r$ 倍的球，總路程為 $h + 2 \times \dfrac{hr}{1 - r}$（先落下一次，之後每次反彈都有上升和下降）。
• 最少項數：列出 $S(n) > \text{目標}$，解不等式，再向上取整數。

**應試提示：**先寫明數列是等差還是等比，並寫出 $a$ 和 $d$（或 $r$），再套用公式。