直線的方程

斜率

通過 $(x_1, y_1)$ 及 $(x_2, y_2)$ 的直線的斜率是

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

• 平行線：$m_1 = m_2$。
• 垂直線：$m_1 m_2 = -1$。

直線方程的形式

形式	方程
點斜式	$y - y_1 = m(x - x_1)$
兩點式	$\dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
斜截式	$y = mx + c$
一般式	$Ax + By + C = 0$

由一般式 $Ax + By + C = 0$：

$$\text{斜率} = -\frac{A}{B}, \quad x\text{ 軸截距} = -\frac{C}{A}, \quad y\text{ 軸截距} = -\frac{C}{B}$$

常見錯誤：$3x - 4y + 12 = 0$ 的斜率是 $-\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$，要小心兩個負號。

距離、中點與分點

對於 $A(x_1, y_1)$ 及 $B(x_2, y_2)$：

• 距離 $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• 中點 $= \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$
• $P$ 以 $r : s$ 內分 $AB$：

$$P = \left(\frac{s x_1 + r x_2}{r + s}, \frac{s y_1 + r y_2}{r + s}\right)$$

留意交叉配對：$s$ 配 $A$，$r$ 配 $B$。

兩直線的交點

解兩條方程的聯立方程。

軌跡

軌跡是一個符合某條件的動點 $P$ 所經過的路徑：

$P$ 的條件	軌跡
與定點 $C$ 的距離恆為 $r$	以 $C$ 為圓心、$r$ 為半徑的圓
與兩點 $A$ 及 $B$ 等距	$AB$ 的垂直平分線
與兩平行線等距	位於兩線正中、與兩線平行的直線
與兩相交直線等距	兩條角平分線

求方程時，設 $P = (x, y)$，用距離公式寫出條件再化簡。

垂直平分線

$AB$ 的垂直平分線通過 $AB$ 的中點，斜率是 $-\dfrac{1}{m_{AB}}$。線上每一點與 $A$ 和 $B$ 的距離相等。

**應試提示：**除非題目另有要求，最後答案應寫成整數係數的一般式 $Ax + By + C = 0$。